Q: दो रेखाएँ जिनकी प्रवणताएँ $m1 = 2$ और $m2 = 3$ हैं, के बीच का कोण क्या है?

प्रवणताओं $m1$ और $m2$ वाली दो रेखाओं के बीच का न्यूनकोण $\theta$, $\tan \theta = \left| \frac{m2 - m1}{1 + m1 m2} \right|$ द्वारा दिया जाता है। $m1 = 2$ और $m2 = 3$ रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{3 - 2}{1 + (2)(3)} \right| = \frac{1}{7}$। अतः $\theta = \tan^{-1}(1/7)$। अतः सही विकल्प A है।

Question 1

बिन्दुओं $(2, 3)$ और $(4, 7)$ से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता (ढाल) क्या है?

Accepted Answer

दो बिन्दुओं $(x1, y1)$ और $(x2, y2)$ से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता $m$ का सूत्र $m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1}$ होता है। दिए गए बिन्दुओं $(2, 3)$ और $(4, 7)$ के मान रखने पर: $m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प B है।

Question 2

दो रेखाएँ जिनकी प्रवणताएँ $m1 = 2$ और $m2 = 3$ हैं, के बीच का कोण क्या है?

Accepted Answer

प्रवणताओं $m1$ और $m2$ वाली दो रेखाओं के बीच का न्यूनकोण $	heta$, $	an 	heta = \left| \frac{m2 - m1}{1 + m1 m2} ight|$ द्वारा दिया जाता है। $m1 = 2$ और $m2 = 3$ रखने पर: $	an 	heta = \left| \frac{3 - 2}{1 + (2)(3)} ight| = \frac{1}{7}$। अतः $	heta = 	an^{-1}(1/7)$। अतः सही विकल्प A है।

Question 3

यदि तीन बिन्दु $(h, 0)$, $(a, b)$ और $(0, k)$ संरेख हैं, तो निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सत्य है?

Accepted Answer

यदि तीन बिन्दु संरेख हैं, तो पहले दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता अंतिम दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता के बराबर होती है। $(h, 0)$ और $(a, b)$ के बीच की प्रवणता $\frac{b}{a - h}$ है। $(a, b)$ और $(0, k)$ के बीच की प्रवणता $\frac{k - b}{-a}$ है। इन्हें बराबर करने पर $\frac{h}{a}

Question 4

बिन्दु $(-4, 3)$ से गुजरने वाली और प्रवणता $1/2$ वाली रेखा का समीकरण क्या है?

Accepted Answer

बिन्दु-प्रवणता रूप का उपयोग करने पर: $y - y1 = m(x - x1)$। यहाँ $x1 = -4, y1 = 3, m = 1/2$ है। मान रखने पर: $y - 3 = \frac{1}{2}(x + 4) \implies 2y - 6 = x + 4 \implies x - 2y + 10 = 0$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प B है।

Question 5

उस रेखा का समीकरण क्या है जो x-अक्ष और y-अक्ष पर क्रमशः $-3$ और $2$ अंतःखंड काटती है?

Accepted Answer

रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है, जहाँ $a$ x-अंतःखंड और $b$ y-अंतःखंड है। दिया गया है $a = -3$ और $b = 2$। मान रखने पर: $\frac{x}{-3} + \frac{y}{2} = 1 \implies -2x + 3y = 6 \implies 2x - 3y + 6 = 0$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प A है।

सरल रेखाएँ