Question 1

$(x + y)^{n}$ के प्रसार में पदों की संख्या क्या है?

Accepted Answer

$(x + y)^{n}$ के प्रसार में पदों की संख्या हमेशा $n + 1$ होती है, जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है। ऐसा इसलिए है क्योंकि $x$ की घातें $n$ से $0$ तक घटती हैं जबकि $y$ की घातें $0$ से $n$ तक बढ़ती हैं, जिससे कुल $(n - 0) + 1 = n + 1$ पद प्राप्त होते हैं।

Question 2

$(x + y)^{n}$ के प्रसार में व्यापक पद ($r+1$-वाँ पद) क्या है?

Accepted Answer

$(x + y)^{n}$ के द्विपद प्रसार में व्यापक पद, जिसे $T{r+1}$ द्वारा दर्शाया जाता है, सूत्र $T{r+1} = {}^{n}C{r} x^{n-r} y^{r}$ द्वारा दिया जाता है।

Question 3

द्विपद गुणांकों का योग ${}^{n}C{0} + {}^{n}C{1} + {}^{n}C{2} + \dots + {}^{n}C{n}$ क्या है?

Accepted Answer

$(1 + x)^{n}$ के प्रसार में सभी द्विपद गुणांकों का योग $x = 1$ रखने पर प्राप्त होता है, जो कि $(1 + 1)^{n} = 2^{n}$ देता है।

Question 4

यदि $n$ सम है, तो $(x + y)^{n}$ के प्रसार में मध्य पद है:

Accepted Answer

जब $n$ एक सम पूर्णांक है, तो $(x + y)^{n}$ में पदों की कुल संख्या $n + 1$ (जो कि विषम है) होती है। इसलिए, केवल एक मध्य पद होता है, जो $T{\frac{n}{2} + 1} = {}^{n}C{\frac{n}{2}} x^{\frac{n}{2}} y^{\frac{n}{2}}$ द्वारा दिया जाता है।

Question 5

यदि $n$ विषम है, तो $(x + y)^{n}$ के प्रसार में मध्य पद हैं:

Accepted Answer

जब $n$ विषम है, तो पदों की कुल संख्या $n + 1$ (जो कि सम है) होती है। परिणामस्वरूप, दो मध्य पद होते हैं, जो $T{\frac{n+1}{2}}$ और $T{\frac{n+3}{2}}$ द्वारा दिए जाते हैं।

द्विपद प्रमेय