Question 1

$(0, 2)$ केंद्र और $2$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण है:

Accepted Answer

केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है। $h = 0$, $k = 2$, और $r = 2$ रखने पर, हमें $(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 4y = 0$ बनता है।

Question 2

परवलय $y^2 = 12x$ की नाभि के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

दी गई समीकरण $y^2 = 12x$ है। इसकी तुलना मानक समीकरण $y^2 = 4ax$ से करने पर, हमें $4a = 12$ प्राप्त होता है, जिससे $a = 3$ मिलता है। परवलय $y^2 = 4ax$ की नाभि $(a, 0)$ होती है। अतः नाभि $(3, 0)$ है।

Question 3

परवलय $x^2 = -16y$ के नाभिलंब की लंबाई है:

Accepted Answer

$x^2 = -4ay$ रूप के परवलय के नाभिलंब की लंबाई $|4a|$ द्वारा दी जाती है। $x^2 = -16y$ की तुलना $x^2 = -4ay$ से करने पर, हम पाते हैं कि $4a = 16$ है। अतः नाभिलंब की लंबाई $16$ इकाई है।

Question 4

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ की उत्केंद्रता है:

Accepted Answer

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (जहाँ $a > b$) के लिए, उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ है। यहाँ $a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ है। अतः $e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ है।

Question 5

अतिपरवलय $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ की नाभियाँ हैं:

Accepted Answer

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए, $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ है। नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ होती हैं। यहाँ $ae = 4 	imes \frac{5}{4} = 5$ है। अतः नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ हैं।

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