Question 1

$i^{35}$ का मान क्या है?

Accepted Answer

$i^{35}$ का मान ज्ञात करने için, घात 35 को 4 से विभाजित करते हैं। $35 = 4 	imes 8 + 3$। इसलिए, $i^{35} = i^{4 	imes 8 + 3} = (i^4)^8 \cdot i^3$। चूकि $i^4 = 1$ और $i^3 = -i$, हमें $i^{35} = (1)^8 \cdot (-i) = -i$ प्राप्त होता है।

Question 2

$2 - 3i$ का गुणात्मक प्रतिलोम (multiplicative inverse) क्या है?

Accepted Answer

एक सम्मिश्र संख्या $z = a + ib$ का गुणात्मक प्रतिलोम $\bar{z} / |z|^2$ द्वारा दिया जाता है। $z = 2 - 3i$ के लिए, संयुग्मी $\bar{z} = 2 + 3i$ है और $|z|^2 = 2^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$ है। अतः, गुणात्मक प्रतिलोम $(2 + 3i) / 13$ है।

Question 3

सम्मिश्र संख्या $-1 + i\sqrt{3}$ का मापांक (modulus) क्या है?

Accepted Answer

सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ का मापांक $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ, $x = -1$ और $y = \sqrt{3}$ है। इस प्रकार, $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$ है।

Question 4

सम्मिश्र संख्या $3 - 4i$ का संयुग्मी (conjugate) क्या है?

Accepted Answer

सम्मिश्र संख्या $z = a + ib$ का संयुग्मी $\bar{z} = a - ib$ होता है। $z = 3 - 4i$ के लिए, काल्पनिक भाग का चिह्न बदलने पर $3 + 4i$ प्राप्त होता है।

Question 5

सम्मिश्र संख्या $1 + i$ का ध्रुवीय रूप (polar form) क्या है?

Accepted Answer

$z = 1 + i$ के लिए, $r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है। कोणांक $	heta = 	an^{-1}(1/1) = \pi/4$ है। अतः ध्रुवीय रूप $r(\cos	heta + i\sin	heta) = \sqrt{2}(\cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4))$ है।

सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण