Q: $k$ के किस मान के लिए समीकरणों $3x - y - 5 = 0$ तथा $6x - 2y - k = 0$ का कोई हल नहीं होगा?

कोई हल न होने के लिए: $\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} \neq \frac{c1}{c2}$।\nयहाँ $a1=3, b1=-1, c1=-5$ तथा $a2=6, b2=-2, c2=-k$। $\frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} \neq \frac{-5}{-k} \implies \frac{1}{2} \neq \frac{5}{k} \implies k \neq 10$।\nजब $k \neq 10$ हो, तो समीकरणों का कोई हल नहीं होगा।

Question 1

यदि रैखिक समीकरण युग्म $a1x + b1y + c1 = 0$ तथा $a2x + b2y + c2 = 0$ का एक अद्वितीय हल हो, तो निम्नलिखित में से कौन सी शर्त सही है?

Accepted Answer

रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होने के लिए $x$ और $y$ के गुणांकों का अनुपात बराबर नहीं होना चाहिए, अर्थात् $\frac{a1}{a2} 
eq \frac{b1}{b2}$।

Question 2

यदि रैखिक समीकरण युग्म $a1x + b1y + c1 = 0$ तथा $a2x + b2y + c2 = 0$ संपाती रेखाओं को निरूपित करता है, तो:

Accepted Answer

संपाती रेखाओं के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं, जो तब होता है जब तीनों अनुपात बराबर हों: $\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} = \frac{c1}{c2}$।

Question 3

समीकरण युग्म $x + y = 14$ और $x - y = 4$ का हल होगा:

Accepted Answer

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x+y) + (x-y) = 14 + 4 \implies 2x = 18 \implies x = 9$। $x = 9$ का मान $x + y = 14$ में रखने पर $\implies 9 + y = 14 \implies y = 5$।
अतः, $x = 9, y = 5$।

Question 4

समीकरणों $x = a$ और $y = b$ का आलेखी निरूपण दो रेखाओं को दर्शाता है जो:

Accepted Answer

रेखा $x = a$ ऊर्ध्वाधर (y-अक्ष के समांतर) है और $y = b$ क्षैतिज (x-अक्ष के समांतर) है। ये दोनों रेखाएं बिंदु $(a, b)$ पर एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।

Question 5

$k$ के किस मान के लिए समीकरणों $3x - y - 5 = 0$ तथा $6x - 2y - k = 0$ का कोई हल नहीं होगा?

Accepted Answer

कोई हल न होने के लिए: $\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} 
eq \frac{c1}{c2}$।
यहाँ $a1=3, b1=-1, c1=-5$ तथा $a2=6, b2=-2, c2=-k$। $\frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} 
eq \frac{-5}{-k} \implies \frac{1}{2} 
eq \frac{5}{k} \implies k 
eq 10$।
जब $k 
eq 10$ हो, तो समीकरणों का कोई हल नहीं होगा।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म